August 29, 2015

Με τι τα κάνουν πάνω τους;

Η κούραση μου επιβάλλει να τα πω στα γρήγορα:
ο ενημερωτικός ιστότοπος iefimerida.gr φέρεται να ανήκει/διευθύνεται από κάποιον Χρ. Ράπτη. Εκ της αναγνώσεως προκύπτει οτι οι τύποι είχαν συμβόλαιο για τη Χρυσή Αυγή ώς το Φύσσα, μετά για το Σαμαρά και μετά από το δημοψήφισμα για το μεγάλο συνασπισμό υπό τον Τσίπρα.

Διαβάστε το ι-ρεπορτάζ τους για τις δημοσκοπήσεις και σημειώστε ο,τι αξιοπερίεργο παρατηρήσετε (πέραν των ορθογραφικών μαργαριτών):




August 10, 2015

Recreationes geometricæ

Έστω Ε πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο, με την εξής ιδιότητα: για οποιοδήποτε ζεύγος διαφορετικών σημείων του Ε υπάρχει επί της ευθείας που το ζεύγος ορίζει, ένα τρίτο σημείο του Ε.

  • Να δειχθεί οτι αυτό είναι αδύνατον, εκτός εάν το Ε συνίσταται από συγγραμμικά σημεία (δηλαδή που κείνται επί ευθείας). 

Εναλλακτικά (και ισοδύναμα) η παραπάνω διατύπωση μπορεί να γίνει:
Έστω Ε  πεπερασμένο σύνολο σημείων στο επίπεδο που δεν κείνται όλα επί ευθείας.
  • Να δειχθεί οτι υπάρχει τουλάχιστο μια ευθεία του επιπέδου που περιέχει δύο και μόνον δύο από τα σημεία του Ε. 
Το παραπάνω πρόβλημα είναι γνωστό ώς εικασία του Sylvester και διατυπώθηκε από τον μαθηματικό αυτόν το 1893. Αν και απλούστατο στη διατύπωσή του, αποδείχθηκε μόλις στα 1932 από τον Gallai, σύμφωνα με το θαυμάσιο (όχι πολύ) εκλαϊκευτικό βιβλίο του Berger.


Η απόδειξη και ποικίλες γενικεύσεις της (εκεί είναι το ζουμί...) είναι εύκολα προσβάσιμες και κατανοητές. Θα συνιστούσα όμως στον αναγνώστη, πριν τις αναζητήσει να δοκιμάσει να σκεφτεί ο ίδιος το πρόβλημα. Εγγυώμαι οτι η σχετική εμπειρία θα είναι ευχάριστη.

ADDED 22/08/15 Λύσεις και συζήτηση

Ο Kelly το 1948 παρουσίασε την εξής στοιχειώδη λύση:
αν δεν είναι όλα τα σημεία συγγραμμικά, τότε θα υπάρχει $\buildrel\triangle\over{abc}$ τέτοιο ώστε το ύψος (απόσταση) από το $a$ στην πλευρά (ευθεία οριζόμενη από) $bc$ να είναι το ελάχιστο. Παρατηρείστε οτι σε ένα τέτοιο τρίγωνο ούτε η γωνία $\widehat{abc}$ ούτε η $\widehat{acb}$ δεν είναι αμβλεία, αλλιώς το ύψος από το $b$ στο $ac$ (αντίστοιχα, από το $c$ στο $ab$) θα ήταν μικρότερο του αρχικώς υποτεθέντος ως ελαχίστου.
Αν η διάταξη των σημείων ήταν όπως αυτή της οποίας η ανυπαρξία ζητείται ν᾽αποδειχθεί, τότε θα υπήρχε σημείο της $d$ επί της ευθείας που ορίζουν τα $bc$.
Θεωρείστε τότε το τρίγωνο $\buildrel\triangle\over{acd}$ ή το $\buildrel\triangle\over{abd}$, και το αντιστοιχο ύψος από το $d$ (προς το $ac$ ή το $ab$ αντίστοιχα).
Προκύπτει άμεσα οτι αυτό θα πρέπει είναι μικρότερο του αρχικώς υποτεθέντος ως ελαχίστου. Αντίφαση, άρα δεν υπάρχει τέτοια διάταξη σημείων. ὅἔδ.

Σε αυτό το σημείο ο μαθητής θα μπορούσε να πάει ευχαριστημένος για ένα μπασκετάκι/freddo/snapchat/ξερωγωτικάνουντα16χρονα.
Η «μαθηματική ψυχή» όμως θα μείνει ανικανοποίητη: αυτό ήταν όλο;  Καμμία υψηλότερη αφηρημένη έννοια δε χρησιμοποιήθηκε εδώ. Ο Gallai χρησιμοποιεί το οτι μια ευθεία διαιρεί το επίπεδο σε δύο διακριτές συνδεμένες περιοχές - αλλά μέχρι εκεί.
Εφόσον μιλάμε για πεπερασμένες διατάξεις, δεν θα πρέπει το θεώρημα να προκύπτει και με τρόπο συνδυαστικό, ως αδυναμία να βγαίνουν κάποια καταλλήλως μετρώμενα κουκιά;

Θα σκιαγραφήσουμε μια τέτοια προσέγγιση· η θεμελιώδης ιδέα εδώ είναι να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του δυικού.
Όσοι δεν την έχουν διδαχθεί, θα έχουν σίγουρα παρατηρήσει οτι στην ευκλείδεια γεωμετρία δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία, αλλά και δύο ευθείες ορίζουν ένα σημείο.  Ναι, εκτός αν είναι παράλληλες! Θα θεωρήσουμε λοιπόν μια άλλη νοητική κατασκευή, αυτή του προβολικού επιπέδου, που περιλαμβάνει κι ένα σημείο «στο άπειρο» - έννοια του δυικού δεν είναι παρά το πέρασμα από δύο σημεία που ορίζουν μια ευθεία σε δύο ευθείες που ορίζουν ένα σημείο και τούμπαλιν. Ένας τρόπος να κατανοηθεί το σημείο στο άπειρο, είναι να απεικονίσουμε το (ευκλείδειο) επίπεδο στην επιφάνεια μιας σφαίρας: θεωρείστε το επίπεδο «εμβαπτισμένο» στον τρισδιάστατο χώρο, και μια σφαίρα η οποία τέμνεται από το εν λόγῳ επίπεδο στον ισημερινό της (της οποίας το κέντρο δηλαδή κείται στο επίπεδο). Κάθε σημείο $x$ του επιπέδου μπορεί τότε να αντιστοιχηθεί σε ένα σημείο της επιφανείας της σφαίρας ως εξής: θεωρούμε την ευθεία $ox$ που ορίζεται από τον «βόρειο πόλο» της σφαίρας $o$ (η κάθετος στο επίπεδο που περνά από το κέντρο της σφαίρας, τέμνειτην επιφάνειά της σε δύο σημεία που ονομάζουμε εδώ «πόλους»: διαλέχτε οποιονδήποτε εκ των δύο και ονομάστε τον βόρειο, τον δε άλλον πείτε τον νότιο· δεν έχουμε ορίσει προσανατολισμούς σε όποια οντότητα μας απασχολεί εδώ) και το $x$. Αυτή τέμνει την επιφάνεια της σφαίρας σε ένα σημείο $y$. Παρατηρείστε μάλιστα οτι τα σημεία του επιπέδου εκτός του κύκλου του ισημερινού, θα αντιστοιχηθούν με σημεία του βορείου ημισφαιρίου της επιφανείας της σφαίρας, ενώ αυτά εντός του κύκλου του ισημερινού, θα πάνε στο νότιο ημισφαίριο. Κάθε σημείο του επιπέδου θα έχει ακριβώς ένα ταίρι στην επιφάνεια της σφαίρας, και κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας θα είναι το ταίρι ενός σημείου του επιπέδου - εκτός από το βόρειο πόλο, που δεν θα αντιστοιχίζεται με τίποτα από το επίπεδο. Ε, στο βόρειο πόλο μπορούμε να θεωρήσουμε οτι αντιστοιχείται αυτό το περίφημο «σημείο στο άπειρο».

Το προβολικό επίπεδο λοιπόν είναι κάτι που μπορεί να έλθει σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με την επιφάνεια μιας σφαίρας.  Μπορούμε να πούμε οτι η αντιστοιχία ορίζεται από τη στιγμή που επιλέγουμε πού θα τοποθετήσουμε τη σφαίρα, δηλαδή ποιό σημείο του επιπέδου θα αντιστοιχηθεί με το νότιο πόλο της επιφανείας της.  Το σημείο αυτό ας το πούμε αρχή του προβολικού επιπέδου.

Αν έχουμε ορίσει αρχή μπορούμε και να ορίσουμε μια αντιστοιχία κάθε «κανονικού» σημείου $\chi$ με διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών: $\chi=(a,b)$ (με τον κλασσικό τρόπο: ορθοκανονικό σύστημα αξόνων από την δεδομένη αρχή). Ωστόσο, με τον ίδιο τρόπο κάθε $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ ορίζει την ευθεία $\chi^*:\: ax+by=1$.
Κάθε σημείο αντιστοιχίζεται κατ᾽αυτόν τον τρόπο με μια ακριβώς ευθεία. Σκεφτείτε οτι και το αντίστροφο ισχύει.   Με μιαν ακόμα περίεργη εξαίρεση: το σημείο της αρχής!
Θα επινοήσουμε λοιπόν κι εδώ μιαν «ευθεία στο άπειρο» όπου θα αντιστοιχεί το σημείο της αρχής, το $(0,0)$.
-Πηδάμε από το ένα θέμα στο άλλο; Κατά βάθος όχι. Μπορείτε να διαπιστώσετε οτι στην προηγούμενη κατασκευή με τη σφαίρα, τα σημεία του ισημερινού απεικονίζονται στον εαυτό τους. Εδώ με τις δυικές ευθείες κάτι ανάλογο συμβαίνει: τα σημεία τα οποία ανήκουν στις δυικές τους ευθείες, σχηματίζουν έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο την αρχή των αξόνων. Έστω $(\alpha, \beta)$ ένα τέτοιο σημείο: ανήκει στην δυική του ευθεία αν και μόνον έχουμε $\alpha^2+\beta^2=1$. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων αυτών είναι λοιπόν κύκλος και οι σχετικές ευθείες είναι οι εφαπτομένες του.
Σταματάμε εδώ τη συζήτηση περί δυικών χώρων πριν μας απορροφήσει ολοκληρωτικά. Ας συγκρατήσουμε κάποια βασικά:  στο προβολικό επίπεδο $\cal{P}$, είναι δυνατόν να οριστεί ένας δυισμός, δηλαδή ένα ζεύγος απεικονίσεων τέτοιο ώστε:

  • η απεικόνιση $a\longrightarrow a^*$ απεικονίζει κάθε σημείο $a$ του  $\cal{P}$ σε ευθεία $a^*$ του $\cal{P}$ και η απεικόνιση $d\longrightarrow d^*$ απεικονίζει κάθε ευθεία $d$ του  $\cal{P}$ σε σημείο $d^*$ του $\cal{P}$
  • οι απεικονίσεις $a\longrightarrow a^*$  και $d\longrightarrow d^*$  είναι αντίστροφες η μια της άλλης
  • αν η γραμμή $d$ περνά από το σημείο $a$, τότε η γραμμή $a^*$ περνά από το σημείο $d^*$.
Μπορούμε τώρα να θεωρήσουμε τη διάταξη $E$ των σημείων της εκφώνησης, και να αρχίσουμε να μετράμε.
Περνάμε καταρχήν στη δυική της $E$ τη $D$. Εις το εξής με τον όρο «διάταξη» θα αναφερόμαστε στην $D$.
Έστω $p_r$ ο αριθμός των πολυγώνων $r$ πλευρών μιας «κυψελωτής» διαίρεσης του $\cal{P}$ από τη διάταξη (εξ᾽ορισμού λοιπόν χωρίς «χορδές» στο εσωτερικό τους· επίσης θα θεωρήσουμε οτι κάθε πολύγωνο που δεν «κλείνει», έχει τις αποκλείνουσες πλευρές του ενωμένες στο σημείο στο άπειρο- θυμηθείτε οτι εργαζόμαστε στο προβολικό επίπεδο! Μια κυψελωτή διαίρεση είναι πολύ εύκολο να κατασκευασθεί).
Έστω $t_r$ ο αριθμός των σημείων που κείνται σε $r$ ευθείες (ορισμένες από την προηγούμενη διαίρεση).
Σημειώστε οτι τώρα αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε ειναι $t_2\geq 1$.
Μπορούμε επίσης κατευθείαν να θεωρήσουμε οτι $t_1=0$, όπως προφανώς προκύπτει από το πληθος των σημείων στη διάταξη.
Έστω $f_0$ ο αριθμός των σημείων, $f_1$ ο αριθμός των ακμών και $f_2$ ο αριθμός των πολυγώνων της διαίρεσης.
Θα είναι λοιπόν $\displaystyle f_0=\sum t_r, \: f_2=\sum p_r,\: f_1=\sum rt_r=\frac{1}{2}\sum rp_r$.
Όμως στο προβολικό επίπεδο είναι πάντα $f_0-f_1+f_2=1$ (η λεγόμενη χαρακτηριστική Euler-Poincaré είναι ίση με 1. Σημειώστε οτι στο απλό, ευκλείδειο επίπεδο, αν έχουμε ας πούμε μοιράσει ένα κομμάτι γής σε πολυγωνικά οικόπεδα, είναι αντιστοίχως $f_0-f_1+f_2=2$).



Υποτεθείσθω λοιπόν οτι $t_r>0$ μόνον όταν $r\geq 3$.
Από τη σχέση για τη χαρ. Euler-Poincaré παίρνουμε από τη μια

$\displaystyle \sum t_r+\sum p_r=1+\sum rt_r\geq 1+3\sum t_r$ κι από την άλλη

$\displaystyle \sum t_r+\sum p_r=1+\frac{1}{2}\sum rp_r\geq 1+\frac{3}{2}\sum p_r$, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας την πρώτη ανισότητα με $\frac{1}{3}$, τη δεύτερη με $\frac{2}{3}$  και προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε

 $\displaystyle \sum t_r+\sum p_r \geq 1+ \sum t_r+\sum p_r$. Άτοπο.

ΥΓ:  Δεν πιστεύω να ήθελε κανείς από τους εκλεκτούς αναγνώστες του σημειώματος αυτού, να ασχοληθώ 
-με το Λαφαζάνη και το αντιμνημονιακό του μνημόνιο που φιλοδοξεί αυτή τη φορά να ευκαιρήσει να σώσει με εναλλακτικό τρόπο το σύστημα, αναδεικνύοντας δικά του νέα τζάκια (διάφοροι Περικλείς τσέπης, μεταξύ Χάμμερ και Ντεριπάτσκα);
-Με τους μαϊντανούς (ενίοτε και μεϊντανούς) που συνωστίζονται για μια θέση Λαφαζάνη στου Παναγιώτη;
-Με τον Τσίπρα που αντί για σύμβουλος της Μέρκελ έγινε, ως ανεμένετο, συμβαλλόμενος;
-Με τον απολυθέντα σύμβουλο Βαρουφάκη που ξαναγυρίζει στην αμερικάνικη σταρτάπ διασωστών του καθεστώτος;
-Με τους πτωματικούς σπασμούς του παλαιού ΠΑΣΟΚ;
-Με τον πολιτικό ταβλαδόρο που περνάει την ώρα του προεδρεύοντας στη ΝΔ ενώ ελπίζει να ξαναγίνει χρήσιμος στα αφεντικά (του);
-Με τη λοιπή «τσιμεντόκολλα» Θεοδωράκη, Καμμένου και δε συμμαζεύεται;
-Με τους λοβοτομημένους που ζητούν αξία χρήσης στους χιτλερικούς;
.....
Όσοι το ήθελαν, ας κάνουν τον κόπο να διαβάσουν την επόμενη τελευταία παράγραφο: η μόνη επαφή με την ελληνική πολιτική που προτίθεμαι να αναπτύξω στα επόμενα σημειώματα ώς τις πιθανότατες εκλογές,  θα εξαντληθεί σε παραλαγές της θέσης οτι η μόνη τοποθέτηση που αρμόζει στον ψηφοφόρο μη κεφαλαιούχο, είναι η ενίσχυση/συμπαράταξη με όσους εργάζονται για την ανατροπή του καπιταλισμού και τη λαϊκή εξουσία - όπως το ΚΚΕ.   

August 05, 2015

Recreationes mathematicæ

1.
α) Το ΧΑΑ διεξάγει υπό κανονικές συμθήκες, περίπου 246 συνεδριάσεις ετησίως. Αν ο δείκτης τιμών του κλείνει αυξημένος και μειωμένος εναλλάξ 2% σε κάθε συνεδρίαση, αρχίζοντας ας πούμε από το κλείσιμο της πρώτης συνεδρίασης του 2016, πόσο θα έχει μεταβληθεί ο δείκτης στο άνοιγμα της πρώτης συνεδρίασης του 2036 σε σχέση με την τιμή του τού ανοιγματος στην πρώτη του 2016;
β) Πόσο χρειάζεται να ανεβοκατεβαίνει μέρα παρά μέρα ο δείκτης (αντί για 2% όπως στο προηγούμενο ερώτημα) ώστε η ζητούμενη τιμή του α) να είναι 50% μείωση;

2.
Υποθέτουμε οτι 1€ είναι το ετήσιο μέγεθος της ελληνικής αγοράς προϊόντων που υπόκεινται σε α% ΦΠΑ, και οτι το κράτος εισπράττει το σύνολο των α/100€ του αναλογούντος φόρου, ενώ τα υπόλοιπα (1-α/100) καταλήγουν στους πωλητές. Υποθέτουμε επιπλέον οτι έχουμε να κάνουμε με ομοειδή προϊόντα, μιας ζητούμενης ποσότητας τ που αντιστοιχεί στο μέγεθος της αγοράς. Με σταθερό το μέγεθος της αγοράς και τις τιμές εκτός ΦΠΑ («μηδενική απορρόφηση»), καθώς και πλήρη την εισπραξιμότητα του φόρου, τι ποσό θα καταλήξει στα κρατικά ταμεία αν ο ΦΠΑ μεταβληθεί σε ρα για ρ>1; Να μελετηθεί η σχετική επιφάνεια f(ρ,α) και η καμπύλη ρ(α) για την οποία η διαφορά του τελικώς εισπραξόμενου ποσού από το ρα ελαχιστοποιείται.

3.
Στο σφαιρικό τρίγωνο που ορίζουν οι γεωδαισικές Κουάλα Λουμπούρ-Ντιέγκο Γκαρσία-Ρεϋνιόν να υπολογισθεί ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας με κορυφή τη Ρεϋνιόν επί το μήκος της Ντιέγκο Γκ.-Ρεϋνιόν προς το ύψος του τριγώνου από το Ντίεγκο Γκαρσία.

Θα συνεχίσουμε με λιγότερο ελαφρύ πρόγραμμα.

  ΛΥΣΕΙΣ (στοιχεία. Προσθ. 08/8) 

1.  Το πρόβλημα (όπως φυσικά και τα δύο επόμενα) είναι γυμνασιακού επιπέδου. Η ουσία είναι οτι η εξέλιξη του δείκτη $x_t=r_tx_{t-1}$ για $t\geq 1$, με αρχική τιμή $x_0$ και $r_t$ ημερήσια ποσοστιαία μεταβολή για τη συνεδρίαση $t$  ($r=\frac{100+\rho}{100}$). Συνεπώς μετά από $n$ συνεδριάσεις η τελική $\displaystyle x_n=x_0\prod_{t=1}^{n}r_t$.
Παρατηρήστε οτι $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{t=1}^nr_t\geq (\prod_{t=1}^{n}r_t)^{\frac{1}{n}}$.

Πρόκειται για κλασσική ανισότητα που εξάγεται εύκολα από το γεγονός οτι η (αύξουσα με φθίνουσα πρώτη παράγωγο) συνάρτηση $\log n$ εἰναι κοίλη
(δηλ $\log(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \lambda\log(x)+(1-\lambda)\log(y), \forall \: x,y\geq 1$  και $\forall \: \lambda, \:0\leq \lambda \leq 1$).

Πρακτικότερα, $246\times20=4920$ συνεδριάσεις και $\displaystyle x_{4920}=x_0\prod_{t=1}^{4920}r_t=x_0[(1-0,02)(1+0,02)]^{2460}=x_0(1-0,0004)^{2460}$ που είναι κάτι μόλις παραπάνω από 37% του αρχικού δείκτη!
Για το β), αναζητήστε την τιμή του $\rho$ για την οποία $1-\left(\frac{\rho}{100}\right)^2=0,5^{\frac{1}{2460}}$, δηλαδή τελικά είναι $\displaystyle \rho=100\sqrt{1-0,5^{\frac{1}{2460}}}$. Το κομπιουτεράκι μου βγάζει $\rho \approx 1,67847$%.



Υπάρχει όμως και η άλλη όψη. Ακριβώς επειδή η επίδραση των ποσοστιαίων μεταβολών σωρεύεται πολλαπλασιαστικώς, μπορεί να υπολογίσει κανείς οτι αν μετατραπούν μόλις 25 συνεδριάσεις (χονδρικά, μια ανά έτος και μια δεύτερη ανά δίσεκτο...) από μειωτικές σε αυξητικές, ο δείκτης μετά από 20 χρόνια θα παραμείνει στα επίπεδα της αρχικής του τιμής.

Το δίδαγμα είναι σαφές ελπίζω: αποφεύγετε «αθροιστικούς» υπολογισμούς σε «πολλαπλασιαστικά» φαινόμενα. Οι εκτιμήσεις σας θα πέσουν πολύ έξω αν τους κάνετε. 

2. Με τις διατυπωμένες παραδοχές  θα πουληθούν $\displaystyle \tau'=\frac{100}{100+(\rho-1)\alpha}\tau$ προϊόντα οπότε θα εισπραχθεί $\displaystyle \frac{\rho}{100+(\rho-1)\alpha}\alpha$, δηλαδή $\displaystyle \rho'=\frac{100\rho}{100+(\rho-1)\alpha}$. 


Παρατηρήστε οτι μεγάλος συντελεστής ανάκτησης προκύπτει όταν εφαρμόζουμε σε χαμηλό ΦΠΑ μεγάλη αύξηση. Συγκεκριμένα, αν από το 13% πάμε στο 23% υπό τις ανειλημμένες παραδοχές, θα εισπράξουμε σαν να είχαμε 21,4% και αμετάβλητη κατανάλωση (προσέξτε οτι στην εφαρμογή του τύπου πάμε από το 11,5 στο 18,7 και ο,τι υπολογίσουμε σαν ΦΠΑ με τους όρους της εκφώνησης, θα το πολλαπλασιάσουμε με 1,23 για να γυρίσουμε στο ποσοστο επί της τιμής άνευ ΦΠΑ).

Μπακαλίστικη εφαρμογή: ας πούμε οτι πουλάμε 100 τσίχλες προς 1€ τη μια, με ΦΠΑ 100%. Δηλαδή $\alpha=50$, 50€ πάνε στον πωλητή και άλλα 50 στο κρατικό ταμείο. Θέλουμε $\rho=1,5$ ελπίζοντας να συλλέξουμε 75€ δηλαδή 25€ παραπάνω από πριν.  Η τιμή της τσίχλας θα πάει στα 1,25€ και με σταθερό το μέγεθος της αγοράς θα πουλήσουμε 80 τσίχλες και θα συλλέξουμε 60€, δηλαδή $\rho'=1,2$ ή 10€ περισσότερα από πριν. Θα καταλήξει στο ταμείο λοιπόν μόλις 40% του επιπλέον ποσού που αφελώς «υπολογίζαμε».

Το δίδαγμα είναι εδώ οτι όρια ξεζουμίσματος υπάρχουν. Είναι χονδροειδής και γι αυτό λανθασμένη η εκτίμηση οτι δεν θα μαζευτούν παραπάνω χρήματα αν αυξηθεί ο ΦΠΑ, επειδή θα «στεγνώσει» η αγορά (βέβαια ούτε τόσα όσα υπολογίζονται με τις παραδοχές αυτές, και γιατί θα υπάρξει τάση μείωσης της εισπραξιμότητας, και γιατί η ζήτηση μπορεί να μειωθεί δευτερογενώς με την ιεράρχηση αναγκών και με την αύξηση της ανεργίας που μπορεί να επιφέρει η πρωτογενής μείωση κτλ κτλ). Από την άλλη όμως, είναι απολύτως λανθασμένο οτι αύξηση του ΦΠΑ φέρνει ανάλογη αύξηση ροών στα κρατικά ταμεία.

3. Στα επίπεδα τρίγωνα, η τιμή αυτή πλησιάζει το 1, τόσο και μόνον τόσο όσο ο μεσαίος προορισμός βρίσκεται κοντά στην ευθεία των δύο ακραίων:  είναι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)=1$.

Τι συμβαίνει όμως στα σφαιρικά τρίγωνα; 
Εδώ δεν υπάρχει μαθηματικό δίδαγμα, αλλά πραγματικό μυστήριο...

ΥΓ. Εξαιρετικό το script για εξισώσεις σε Latex!

July 27, 2015

Δροσερή θερινή σαλάτα

Πέρασαν επτάμιση βδομάδες από τότε που ο εκ των μεγίστων μάστορων της μαγειρικής τέχνης Roger Vergé άφησε τον μάταιο τούτο κόσμο.

Γεννήθηκε και μεγάλωσε στο νοητό όριο μεταξύ βορρά και νότου της Γαλλίας, στο μέρος της Auvergne που ανήκει στην ιστορική επαρχία του Bourbonnais, σ'ένα χωριό έξω από το Montluçon. Η φτώχεια των κατοίκων σε συνδυασμό με τον απέραντο πλούτο της γεωργικής και κτηνοτροφικής παραγωγής, αποτελούν τις καταβολές της υπέροχης τοπικής κουζίνας στην οποία αρχικά μαθήτευσε.

Από τα τέλη της δεκαετίας του '60, ο Vergé μετακομίζει στον νότο της αναψυχής των πλουσίων, στο υπέροχο Mougins  όπου ριζώνει και μεγαλουργεί, αναδεικνύοντας τη λεπτότητα των απλών και υπέροχων υλικών: ο μαιτρ απογειώνει αγγινάρες, κολοκυθοανθούς και γενικά ο,τι μας βρίσκεται λίγο πολύ σε καθημερινή διαθεσιμότητα.

Ο μαιτρ, πέρα από την επιρροή του στους σεφ της υψηλής κουζίνας, άφησε συγγραφικό έργο και οπτικοακουστικό υλικό, προς τέρψη και μάθηση των μελλοντικών γενεών.
Ιδού για παράδειγμα ένα τέτοιο κλιπάκι από παλαιά μαγειρική εκπομπή:





Θα παρουσιάσουμε εδώ κάτι ακόμα απλούστερο: μια ταπεινή αγγουροντομάτα. Δύσκολα μπορεί να φανταστεί κανείς άνθρωπο, ειδικά στην Ελλάδα, που δεν μπορεί να τη φτιάξει «επί της αρχής».
Θα παραθέσουμε ωστόσο όλες τις λεπτομέρειες που αναδεικνύουν τη φιλοσοφία της κουζίνας του Vergé. Στο βαθμό που θα γίνει αυτή κατανοητή, μπορούν να προκύψουν τόσες διαφορετικές υλοποιήσεις και βαριάντες, όσες και οι φορές που κάποιος θα ετοιμάσει τη σαλάτα αυτή. Πχ θαυμάσια προσθετει κανείς, μαζί με το αγγούρι, μια χουφτίτσα κομμένα φρέσκα καπαρόφυλλα.

Περνάμε τώρα στο «κατ᾽άρθρον». Έχουμε λοιπόν, για 5 ἀτομα:

Υλικά
Εξοπλισμός
  • Ψυγείο
  • 5 πιάτα κι ένα μπολ χωρητικότητας περί τα 25 cl
  • Μούλτι (και με τρίφτη τα καταφέρνουμε)
  • Κουτάλι σούπας και γλυκού, μαχαίρι κοπής λαχανικών, σφηνάκι ή μεζούρα μικροποσοτήτων υγρών
  • Τρυπητό/κωνική σίτα ψιλή («κινέζος»)
  • Πιπερόμυλος ρυθμισμένος στο ψιλό άλεσμα

Εκτέλεση

Την προηγούμενη βάζουμε το μανούρι τα λαχανικά και τα πιάτα στο ψυγείο.

-Επί το έργον:
1. Kόβουμε τις 4 ντομάτες φέτες (όπως θα φαγωθούν στη σαλάτα).
2. Πετάμε στο μούλτι τα σκληρά που αφαιρέσαμε συν την πέμπτη ντομάτα, κομμένη τέταρτα.
3. Ξεφλουδίζουμε το αγγούρι, το κόβουμε εγκαρσίως στα 2/3, σκίζουμε διαμήκως τα δύο κομμάτια, τα ξεσποριάζουμε με το κουτάλι, κόβουμε τα δύο μεγάλα κομμάτια σε λεπτά (3mm) «μισοφέγγαρα» (ήταν ημικύκλια, μείον το ξεσπόριασμα), αλατίζουμε (1/2 κουτ. γλυκού) να φύγουν τα πολλά υγρά και τα δύο μικρά τα ρίχνουμε σχετικά ψιλοκομμένα ατο μούλτι.
4. Θα ρίξουμε επίσης στο μούλτι τη σκελίδα σκόρδου κομμένη χοντρά, τα φυλλαράκια του βασιλικού, μια κουταλιά σούπας λάδι, το ξύδι,  ένα γύρο μύλου πιπέρι, ελάχιστο αλάτι και τα λυώνουμε όλα να γίνουν πουρές.
-Φτιάχνουμε 5 σαλάτες ατομικές:
5. Βγάζουμε τα πιάτα από το ψυγείο και απλώνουμε στον πάτο του καθενός την κρύα σως φιλτραρισμένη στον «κινέζο».  Κρατάμε το στερεό κατάλοιπο στο μπολ για άλλη χρήση, πχ μια piperade.
6. Βάζουμε στο κέντρο κάθε πιάτου μια τούφα αγγούρι και απλώνουμε περιμετρικά κι εναλλάξ τις φέτες ντομάτα με τις ροδέλες μανούρι (έρχεται 40 γραμμάρια στον καθένα).
7. Αφήνουμε ένα ανθάκι ή λίγα φυλλαράκια θυμάρι σε κάθε φέτα ντομάτα.
8. Ρίχνουμε λίγο πιπέρι στο κάθε πιάτο και ένα λεπτό φιλέ λάδι στις ντομάτες (τελειώνουμε το λάδι).
-Σερβίρουμε κατευθείαν, με συνοδεία λίγο χωριάτικο φρυγανισμένο ψωμί.

July 10, 2015

Aie, aie, aie, aie, aie, aie...

Had really the Syriza government been acting  during all that negotiation time as if convincing "United Europe" for their "good policies" were feasile?
Being a lying crook and moron is really a deadly combination; in a way, these whom this government is fooling but also those that are being served, sink all into ridiculousness...

Bonus track (a Dr. Schäuble's fav)


July 05, 2015

Welcome song



ADDED 13/7/2015 #thisisacoup ... de maître! I have warned you a week before. Understand now?

July 03, 2015

Class chemistry: how to get salt and water

1.  Βρυξέλλες, 3/7/2015

Φίλοι και συναγωνιστές,

Ο Ελληνικός λαός, η χώρα μας, βρίσκεται κάτω από έναν απόλυτο εκβιασμό των «εταίρων» και δανειστών της, που έχει τα χαρακτηριστικά οικονομικού πολέμου. Κανένας μας δεν μπορεί να παίρνει ίσες αποστάσεις.
 Το δημοψήφισμα της Κυριακής έχει ένα συγκεκριμένο δίλημμα: «ΟΧΙ» στην πρόταση των δανειστών ή «ΝΑΙ» στις αξιώσεις τους.
Σας απευθύνω έκκληση, δεν σας καλώ ‒άλλωστε δεν έχω δικαίωμα να σας καλώ, σεβόμενος τις αρχές σας και την πολιτική σας ιστορία‒ να πάρετε θέση επιλέγοντας το ΟΧΙ, ακόμα κι αν από τη δική σας πολιτική σκοπιά θεωρείτε εκβιαστικό το δίλημμα.
Τυχόν επικράτηση του ΝΑΙ θα σηματοδοτήσει τη λαϊκή νομιμοποίηση στις πιο ακραίες και πιο βάρβαρες αντιλαϊκές πολιτικές. Ένα τέτοιο ΝΑΙ δεν πρέπει να επιτρέψετε και εσείς με την ιστορία σας να επικρατήσει.
Το ΟΧΙ τιμά την ιστορία του ΚΚΕ. Η επιλογή του ΟΧΙ εκ μέρους των ψηφοφόρων του ΚΚΕ δεν σας αποδυναμώνει, δεν είναι ψήφος ενάντιά σας. Κάθε άλλο. Είναι επιλογή που δεν αντίκειται στην ιστορία και τη στρατηγική του ΚΚΕ, όπως αυτή έχει διαχρονικά καταγραφεί. Αντίθετα την ενισχύει.
Αγαπητοί συναγωνιστές, μην αφήσετε το ΑΚΥΡΟ να ακυρώσει το μέλλον της πατρίδας μας!

Μανώλης Γλέζος, ευρωβουλευτής


2. Αθήνα, 3/7/2015 

Όχι στο μη χείρον βέλτιστον


Είναι εντυπωσιακό ότι τόσο το «ναι» όσο και το «όχι» στο δημοψήφισμα στο οποίο αποφάσισε η κυβέρνηση να μας οδηγήσει, ερμηνεύεται από τον καθένα όπως ο ίδιος θέλει. Στην πραγματικότητα όμως η μοναδική πραγματική ερμηνεία είναι εκείνη της ίδιας της κυβέρνησης, η οποία και επέλεξε να θέσει το ερώτημα όπως το έθεσε.
Αυτή λοιπόν, αφού προηγουμένως θεοποίησε τη λογική τού αμοιβαία επωφελούς συμβιβασμού με τους δυνάστες μας -που καταγράφηκε αρχικά με την επαίσχυντη συμφωνία της 20ής Φεβρουαρίου- και την παραμονή της χώρας μας στην ευρωζώνη και την Ε.Ε., έρχεται σήμερα να ζητήσει από τον λαό μας να αρνηθεί την πρόταση των δυναστών μας, η οποία ουσιαστικά λίγο απέχει από τη δική της πρόταση, για να συνεχίσει την εντός των τειχών διαπραγμάτευση από καλύτερη κατά τη γνώμη της θέση, λες και η τρόικα έδωσε μέχρι τώρα δείγματα σεβασμού της λαϊκής βούλησης.
Στην πραγματικότητα η προσφυγή στο δημοψήφισμα επελέγη τυχοδιωκτικά και ανεύθυνα από τον ΣΥΡΙΖΑ από τη μια για να ξεπεράσει τις αντιδράσεις των συμμάχων του, των ΑΝ.ΕΛΛ. σε δυο-τρία ζητήματα με τα οποία διαφωνούσαν και για να βγάλει από τη δύσκολη θέση την Αριστερή του Πλατφόρμα, από την άλλη για να επιβιώσει ο ίδιος πολιτικά ως Αριστερά, στίγμα με το οποίο και εκλέχτηκε.
Το να επιδιώκεις όμως να τα βρεις με τους λύκους μέσα στη φωλιά τους δεν μπορεί να το πετύχεις χορεύοντας μαζί τους, αλλά αν τους χορτάσεις με τις σάρκες του λαού σου.
Γι’ αυτό και ένα δημοψήφισμα που δεν θέτει θέμα εξόδου από τον λάκκο των λεόντων, όσο και αν πολλοί από εκείνους που στηρίζουν το «όχι» το συνδέουν με αυτήν, σε όποιο αποτέλεσμα κι αν καταλήξει θα είναι καταστροφικό για τον λαό μας.
Μάλιστα αυτή η επιλογή για προσφυγή στο δημοψήφισμα με δεδομένη τη μέχρι τώρα υποχωρητικότητα του ίδιου του ΣΥΡΙΖΑ, με δεδομένη την κατάσταση της αβεβαιότητας και του φόβου την οποία από μόνη της ήταν δεδομένο ότι θα δημιουργήσει, με δεδομένη τη συνεχιζόμενη εμμονή όλου του ΣΥΡΙΖΑ σε συμφωνία με Ν.Δ., ΠΑΣΟΚ, Ποτάμι, ΑΝ.ΕΛΛ., Χ.Α., και τον Πρόεδρο της Δημοκρατίας, για πάση θυσία παραμονή στην ευρωζώνη και την Ε.Ε., με δεδομένη την παντελή εκ μέρους του ΣΥΡΙΖΑ έλλειψη προετοιμασίας της επόμενης μέρας ύστερα από μια ενδεχόμενη ρήξη, η οποία όπως δήλωναν τα κορυφαία στελέχη του ήταν εκτός της λογικής του, με δεδομένη τη μέχρι τώρα συστηματική υποτίμηση εκ μέρους του ΣΥΡΙΖΑ της λαϊκής παρέμβασης, εμπεριέχει το ρίσκο να οδηγήσει στην επικράτηση του «ναι». Σε αυτή την περίπτωση η κυβέρνηση οφείλει να παραιτηθεί και να αποτελέσει μια αριστερή παρένθεση, μια που δεν θα μπορεί να εφαρμόσει ένα μνημόνιο με το οποίο δηλώνει ότι διαφωνεί.
Αλλά με αυτά τα δεδομένα και μια επικράτηση του «όχι» σε αντίθεση απ’ ό,τι υποστηρίζει η πλειονότητα των αριστερών δυνάμεων, με εξαίρεση το ΚΚΕ, από μόνη της μάλλον σε μια γενικευμένη εθελοδουλία θα οδηγήσει παρά σε μια λαϊκή αντεπίθεση και προοδευτική πορεία, μια και στόχος της κυβέρνησης είναι να υιοθετήσει και να εφαρμόσει το αντιλαϊκό τρίτο μνημόνιο το οποίο η ίδια προτείνει.
Βεβαίως η επικράτηση του «ναι» δεν είναι ταυτόσημη με την επικράτηση του «όχι», όπως η Ν.Δ. δεν ταυτίζεται με τη Χ.Α., η Λεπέν με τον Σαρκοζί, ο ΣΥΡΙΖΑ με τη Ν.Δ… Αυτό όμως, όπως ορθώς έπραξε η ριζοσπαστική Αριστερά και στις βουλευτικές εκλογές, δεν πρέπει να μας οδηγεί στη λογική τού μη χείρον βέλτιστον και στη συμμαχία με τις τριτομνημονιακές δυνάμεις του ΣΥΡΙΖΑ, και ακόμη χειρότερα στη συμμετοχή σε κοινές επιτροπές μαζί τους ή στην αντιμετώπιση του Τσίπρα λες και είναι ο νέος Αλιέντε, Τσάβες ή ακόμη ο Τσε που ζώστηκε τα όπλα του, όπως θέλουν να τον παρουσιάζουν ορισμένοι συριζαίοι.
Αντίθετα θα πρέπει και στην κάλπη αντιστοιχώντας το περιεχόμενο των θέσεων μας με τη μορφή έκφρασής τους να προτάξουμε το «όχι» σε κάθε νέο μνημόνιο από όπου κι αν προέρχεται, τη διαγραφή του χρέους, την έξοδο τώρα από την Ε.Ε.
Ολα αυτά με πλήρη σεβασμό των συντρόφων και φίλων οι οποίοι ανιδιοτελώς και όχι διότι έχουν κάποιο οικονομικό ή άλλο συμφέρον αποφάσισαν να συμπλεύσουν με την πρόταση του ΣΥΡΙΖΑ, εκτιμώντας ότι έτσι προωθούν την κοινή μας υπόθεση.

Γιώργος Ρούσσης, ομ. καθ. Παντείου Πανεπιστημίου (Εφ. των Συντακτών)